بعنوان یک متخصص کار با داده، آشنایی با توابع مختلف ریاضی، بسیار مهم هستند، چون ما قصد داریم که اقدام به پیشبینی و تفسیر آنها نمائیم. یعنی الگوهایی که در ذات دادهها بصورت تابعگونه وجود دارند را کشف و تحلیل نمائیم.
توابع خطی
در ریاضیات یک تابع به منظور وابسته کردن یک متغیر به متغیر دیگری بکار گرفته میشود. فرض کنید که ما رابطهی بین میزان مصرف کالری و متوسط ضربان قلب را در نظر میگیریم. منطقی است که فرض کنیم، در حالت کلی، میزان مصرف کالری تغییر خواهد کرد اگر متوسط ضربان قلب تغییر نماید. پس در اینجا نتیجه میگیریم که مصرف کالری به متوسط ضربان قلب وابسته است.
بعلاوه، منطقی است که فرض کنیم اگر متوسط ضربان قلب افزایش یابد، میزان مصرف کالری نیز بالا خواهد رفت. مصرف کالری و متوسط ضربان قلب دو متغیری هستند که در حال بررسی آنها هستیم.
چون میزان سوخت کالری وابسته است به متوسط ضربان قلب، میگوئیم که مصرف کالری یک متغیر وابسته و متوسط ضربان قلب، یک متغیر مستقل است.
رابطه بین یک متغیر وابسته و مستقل را اغلب میتوان توسط روابط موجود در ریاضی بیان نمود، در واقع با استفاده از فرمولهایی آن را نمایش داد. بصورت نادقیق و کلی، این فرمولها را توابع در دنیای ریاضی مینامند.
یک تابع خطی دارای یک متغیر مستقل (که عمومن آنرا با x نمایش میدهند) و یک متغیر وابسته است (عمومن آنرا با نماد y نشان میدهند) و فرم کلی ان به شکل زیر است:
y = f(x) = ax + b
این تابع به منظور محاسبهی یک مقدار برای متغیر وابسته، هنگامی که یک مقدار از متغیر مستقل را داشته باشیم، استفاده خواهد شد.
توضیحات اضافی:
- f(x) = خروجی (مقدار متغیر وابسته در صورتی که مقدار متغیر مستقل را در فرمول وارد کرده باشیم)
- x= ورودی (مقدار متغیر مستقل)
- a= شیب خط؛ همان ضریب متغیر مستقل است. شیب نرخ تغییرات متغیر وابسته نسبت به متغیر مستقل را میدهد
- b= عرض از مبدا (intercept)؛ مقدار متغیر وابسته وقتی که x=0. این مقدار از برخورد خط (نشان دهندهی تابع) با محور عمودی نیز بدست میآید
توابع خطی با یک متغیر توصیفی
یک تابع با یک متغیر توصیفی، یعنی تابعی که تنها از یک متغیر جهت پیشبینی استفاده میکند. فرض کنید که قصد داریم با استفاده از متوسط ضربان قلب، میزان سوخته شدن کالری را بدست آوریم. فرمول زیر را داریم:
f(x) = 2x + 80
در اینجا، اعداد و متغیرها اینچنین معنی میدهند:
- f(x)= خروجی. این عدد میزان مصرف کالری را نشان میدهد
- x= ورودی که همان متوسط ضربان قلب است
- a= شیب خط؛ مشخص میکند که مصرف کالری چقدر افزایش مییابد اگر میزان متوسط ضربان قلب، تنها یک واحد بالا رود. این یعنی خط قطری ما (از معادله تابع بدست میآید) دارای چه شیبی است.
- b= عرض از مبدا (intercept)؛ یک مقدار ثابت که همان مقدار متغیر وابسته است در حالتی که داشته باشیم x=0
رسم یک تابع خطی
اصطلاح “خطی بودن (Linearity)” به معنی یک خط مستقیم میباشد. یعنی وقتی میگوئیم که یک تابع خطی است، نمودار آن به شکل یک خط راست در صفحه میباشد. بنابراین اگر یک تابع خطی را بصورت گرافیکی نمایش دهیم، همواره به یک خط مستقیم (با یک زاویهی خاص) خواهیم رسید. این خط میتواند بسمت بالا گرایش داشته باشدف یا اصطلاحن دارای شیب مثبت باشد، یا برعکس شیب به سمت پائین داشته باشد و حتی در برخی از موارد یک خط افقی باشد. در شکل زیر یک نمایش گرافیکی از تابع فوق را میبینیم:
توضیحات شکل (نمودار تابع)
- محور افقی همواره محور x نامیده میشود. در اینجا این محور نشان دهندهی متوسط ضربان قلب (Average_Pulse) هست
- محور عمودی عمومن محور y نامیده میشود. در اینجا این محور نشان دهندهی مصرف کالری (Calorie_Burnage) است
- میزان مصرف کالری یک تابع از متوسط ضربان قلب است، چون میزان مصرف کالری وابسته به متوسط ضربان قلب میباشد
- به عبارتی دیگر، ما از متوسط ضربان قلب به منظور پیشبینی مصرف کالری اشتفاده کردیم
- خط آبی در شکل فوق نشان دهندهی ساختار ریاضیگونهی تابعی است که قصد پیشبینی میزان مصرف کالری را دارد
